Erdbeben und Logarithmus/Der Logarithmus und Erdbeben und Logarithmus/Logarithmische Skalen: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Erdbeben und Logarithmus}}}}
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{{Box|Info: Einstieg|Im letzten Kapitel bist du bereits auf die <u>'''Magnitude'''</u> gestoßen. Es ist in der Tat so, dass bei einem Beben der Magnitude 6,8 um ein Vielfaches mehr Energie freigesetzt wird, als bei einem der Magnitude 5,8. Das erklärt den Unterschied im Zerstörungspotential zwischen den Erdbeben 2020 in der Türkei. Steigt die Richter-Magnitude um 1, entspricht das einer <u>'''Ver-32-fachung'''</u> der freigesetzten Energiemenge. Bei einer Richter-Magnitude von 5,0 werden beispielsweise 10<sup>12</sup> Joule freigesetzt. Bei 6,0 sind es bereits 2,5 <math>\cdot</math> 10<sup>13</sup> Joule und bei 7,0 beträgt die Energiefreisetzung 10<sup>15</sup> Joule.<ref>Strahler, A. H. & Strahler, A. N. (2009). ''Physische Geographie''. Stuttgart: Verlag Eugen Ulmer.</ref>
{{Box|Info: Einstieg|
Wir haben nun den <u>'''Logarithmus'''</u> aus der Sicht der Mathematik kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, warum er für die Angabe der Stärke von Erdbeben verwendet wird. Wiederholen wir zunächst die Definition der <u>'''Magnitude'''</u>.  


Wie genau die <u>'''Richter-Magnitude'''</u> definiert ist und was das mit dem <u>'''Logarithmus'''</u> zu tun hat, erfährst du hier in diesem Abschnitt.
Im folgenden Kapitel ist immer die Rede vom <u>'''dekadischen Logarithmus'''</u> ('''<math>\lg</math>'''). '''<math>M</math>''' bezeichnet die <u>'''Richter-'''</u> oder <u>'''Lokal-Magnitude'''</u> und '''<math>A</math>''' den <u>'''Maximalausschlag'''</u> eines Seismometers nach Wood und Anderson.
|Kurzinfo}}
|Kurzinfo}}


{{Box|1=Merke: Definition der Richter-Magnitude|2=
{{Box|1=Merke: Definition der Richter-Magnitude|2=


Die <u>'''Richter-Magnitude'''</u> wird auch <u>'''Lokal-Magnitude'''</u> genannt. Diese Bezeichnung geht auf ihre Definition zurück. Sie lautet nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen:
Die <u>'''Richter-Magnitude'''</u> oder <u>'''Lokal-Magnitude'''</u> ist nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen definiert:
<br />
<br />
<blockquote>''In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist
<blockquote>''In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist
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wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.''<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref></blockquote>
wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.''<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref></blockquote>
<br />
<br />
Die Richter-Magnitude wird also anhand des <u>'''maximalen Ausschlages'''</u> (auch <u>'''maximale Amplitude'''</u> genannt), gemessen von einem Seismographen nach Wood und Anderson, berechnet. Dabei handelt es sich jedoch um ein veraltetes Gerät, welches heute durch modernere Seismometer ersetzt wird. Was der <u>'''Logarithmus'''</u> in dieser Formel bedeutet, wollen wir uns jetzt ansehen.


<br />
'''Wie kann man den Maximalausschlag <math>A</math> in 100 km Entfernung in Mikrometer berechnen, wenn man die Lokal-Magnitude kennt?'''


[[Datei:Amplitude Sinus.png|400 px|center|Amplitude]]
{{Lösung versteckt|
 
|3=Merksatz}}
 
{{Box|1=Merke: Definition des Logarithmus|2=
 
Der <u>'''Logarithmus'''</u> <math>\log_{a} x</math> ("Logarithmus von x zur Basis a") mit <math>a,x \in \mathbb{R}^{+}</math>, <math>a \neq 1</math> ist jene Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten.
Es gilt <math>\log_{a} x = y \Longleftrightarrow a^{y} = x</math> und <math>a^{\log_{a} x} = x</math>.
Die Zahl a wird in diesem Zusammenhang als <u>'''Basis'''</u> bezeichnet und x als <u>'''Numerus'''</u>.
 
Es gibt einige Logarithmen, welche besonders oft gebraucht werden. Beispielsweise den Logarithmus zur Basis 10, er wird <u>'''dekadischer Logarithmus'''</u> (Kurzform: '''lg''') genannt. Oder jenen zur Basis e, er wird als <u>'''natürlicher Logarithmus'''</u> (Kurzform: '''ln''') bezeichnet. Wobei e die Euler'sche Zahl ist. Das ist eine irrationale Zahl mit <math>e \approx 2,718</math>.
 
Du willst noch mehr über die Euler'sche Zahl wissen? Für weitere Infos, klicke hier: [https://www.youtube.com/watch?v=-3_MUV1PwWQ Lernvideo: e - die Euler'sche Zahl]
 
Sieh dir zum besseren Verständnis das folgende '''Video''' an:


<center><math>A = 10^{M}</math></center>}}
<br />
<br />
{{#ev:youtube|iuG7isoQjGc|800|center}}


|3=Merksatz}}
'''Warum kommt eine Steigerung der Lokal-Magnitude um eine Einheit einer Verzehnfachung des Ausschlags gleich?'''


{{Box|1=Aufgabe 9|
{{Lösung versteckt|
2=<u>'''Übungen Logarithmus A'''</u>


Sieh dir das Musterbeispiel an. Berechne anschließend die folgenden Logarithmen ohne Technologieeinsatz. Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 9: Übungen Logarithmus A)''' hast du Platz dafür. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
<center><math>10^{M+1} = 10 \cdot 10^{M}</math> bzw.</center>
<center><math>M+1 = \lg A + 1 = \lg A + \lg 10 = \lg (A \cdot 10).</math></center>}}
<br />
<br />
<div style="background-color:#efefef;;padding:7px;">
'''Musterbeispiel''': <math>\log_{2} 8</math>
<br />
<u>1. Möglichkeit</u>: Überlege dir, mit welcher Zahl du 2 potenzieren musst, um 8 zu erhalten. Also ist <math>\log_{2} 8 = 3</math>.
<br />
<u>2. Möglichkeit</u>: <math>\log_{2} 8 = y \Longleftrightarrow 2^{y} = 8 \Longleftrightarrow y = 3</math>. Also ist <math>\log_{2} 8 = 3</math>.
</div>


<br />
Auch die bei einem Erdbeben freigesetzte Energie (<math>E</math>) hängt exponentiell von <math>M</math> ab:
 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
 
'''a)''' <math>\log_{3} 9</math>
 
'''b)''' <math>\log_{4} 64</math>
 
'''c)''' <math>\log_{4} \frac{1}{4}</math>
 
'''d)''' <math>\log_{3} \frac{1}{9}</math>
 
'''e)''' <math>\log_{2} \sqrt{2}</math>
 
'''f)''' <math>\log_{10} \sqrt{1000}</math>
 
'''g)''' <math>\log_{a} a</math>
 
'''h)''' <math>\log_{a} 1</math>
 
</div>
 
<div class="width-1-2">
 
{{Lösung versteckt|
 
'''a)''' <math>2</math>
 
'''b)''' <math>3</math>
 
'''c)''' <math>-1</math>
 
'''d)''' <math>-2</math>
 
'''e)''' <math>\frac{1}{2}</math>
 
'''f)''' <math>\frac{3}{2}</math>
 
'''g)''' <math>1</math>
 
'''h)''' <math>0</math>}}
 
</div>
</div>
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=Teste dein Wissen!|2=
 
<u>'''Übungen Logarithmus B'''</u>


<br />
<br />


{{H5p-zum|id=16052|height=640}}
<center><math>E \approx k \cdot 10^{\frac{3M}{2}}</math> mit <math>k \approx 6 \cdot 10^{4} Joule.</math></center>
 
|3=Üben}}
 
{{Box|1=Merke: Rechenregeln für Logarithmen|2=
 
Wie beim Rechnen mit Potenzen, gibt es auch für Logarithmen gewisse Rechenregeln.
 
Es seien <math>a \in \mathbb{R}^{+}, a \neq 1, x, x_{1}, x_{2}, \in  \mathbb{R}^{+} </math> und <math>r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}</math>. Dann gilt:
<br />
<br />
# <math>\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) = \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2}</math>.
# <math>\log_{a} \frac{x_{1}}{x_{2}} = \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2}</math>.
# <math>\log_{a} x^{r} = r \cdot \log_{a} x</math>.
# <math>\log_{a} 1 = 0, \log_{a} a = 1</math>.<ref>Neher, M. (2018). ''Anschauliche höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler''. Wiesbaden: Springer Vieweg.</ref>
|3=Merksatz}}
{{Box|1=Aufgabe 10|
2=<u>'''Übungen Logarithmus C'''</u>


Wie du wahrscheinlich schon einmal gehört hast, wollen Mathematikerinnen und Mathematiker nichts glauben, sondern immer alles beweisen. Wir versuchen jetzt ebenso, die Rechenregeln für Logarithmen zu beweisen. Das funktioniert mithilfe der Rechenregeln für Potenzen. Falls dir diese nicht mehr geläufig sind, klicke [https://www.youtube.com/watch?v=aUK2-Svw4o4 hier].
Somit ist sie näherungsweise proportional zu <math>A^{\frac{3}{2}}</math> und somit zu


Sieh dir zuerst das Musterbeispiel (1. Regel) an, um eine Vorstellung zu bekommen, wie die Beweise funktionieren. Versuche anschließend die restlichen Regeln zu beweisen. Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 10: Übungen Logarithmus C)''' hast du Platz dafür. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
<br />
<div style="background-color:#efefef;;padding:7px;">
'''Musterbeispiel''': 1. <math>\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) = \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2}</math>.
<br />
<br />
<u>Beweis</u>: Wir definieren die Logarithmen zunächst folgendermaßen <math>y_{1} := \log_{a} x_{1}, y_{2} := \log_{a} x_{2} </math>, das heißt <math>a^{y_{1}} = x_{1}, a^{y_{2}} = x_{2}</math> (''Definition des Logarithmus'').
<math>\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) =</math> (''Einsetzen der obigen Definition'') <math>= \log_{a} (a^{y_{1}} \cdot a^{y_{2}}) =</math> (''Anwendung der Rechenregel für Potenzen'') <math>= \log_{a} (a^{y_{1}+y_{2}}) =</math> (''Definition des Logarithmus'') <math>= y_{1} + y_{2} =</math> (''Einsetzen der obigen Definition'') <math>= \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2}</math>.
</div>


<center><math>10^{\frac{3M}{2}}=(10^{\frac{3}{2}})^{M} \approx 32^{M}.</math></center>
<br />
<br />
'''a) Versuche nun, die Regeln 2. - 4. gemeinsam mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler zu beweisen. Falls ihr Hilfe braucht, klickt unten auf "Hilfe anzeigen"'''. <span class="brainy hdg-spech-bubbles fa-lg"></span>


{{Lösung versteckt|
Steigt die Lokal-Magnitude um 1, entspricht das also einer <u>'''Ver-32-fachung'''</u> der freigesetzten Energiemenge. Die Magnitude wird aus diesem Grund auch <u>'''logarithmisches Maß'''</u> genannt.<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>


<u>Zu 2.</u>: Der Beweis der 2. Regel funktioniert ganz ähnlich wie der der 1. Verwende wieder die Definitionen <math>y_{1} := \log_{a} x_{1}, y_{2} := \log_{a} x_{2} </math>. Überlege dir vorab, wie das Potenzgesetz für die Division mit gleicher Basis lautet.
|3=Merksatz}}
 
<u>Zu 3.</u>: Setze für <math>x = a^{\log_{a} x} </math> (''Definition des Logarithmus'') in die linke Seite der Gleichung ein. Wende dann die Rechenregel für das Potenzieren von Potenzen an und anschließend die Definition des Logarithmus.
 
<u>Zu 4.</u>: Diese Beweise sind kurz. Überlege dir, was <math>a^{0}</math> und <math>a^{1}</math> ist und du hast die Behauptungen mithilfe der Definition des Logarithmus bewiesen.
|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}


<br />
{{Box|1=Aufgabe 15|
'''b) Sieh dir, um die Rechenregeln besser zu verinnerlichen, noch das folgende Video an. Übertrage alle Beispiele aus dem Video auf den Arbeitsplan (Aufgabe 10: Übungen Logarithmus C)'''. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
2=<u>'''Logarithmische Skalen'''</u>


<br />
# Lies dir die obige Info zum Thema Richter-Magnitude genau durch.
{{#ev:youtube|2vIZNqYHpos|800|center}}
# Nimm den '''Arbeitsplan (Aufgabe 15: Logarithmische Skalen)''' zur Hand. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
# Versuche, die folgenden Fragen durch eigene Überlegungen und Recherche im Internet stichwortartig am '''Arbeitsplan''' zu beantworten.
## ''Warum ist die Verwendung des Logarithmus bei der Richter-Skala sinnvoll?''
## ''Wie kann man eine logarithmische Skala allgemein beschreiben?''
## ''Wo werden Logarithmen bzw. logarithmische Skalen neben der Erdbebenthematik noch angewendet?''
# Erstelle mit den eben gesammelten Informationen über logarithmische Skalen eine '''SmartArt-Grafik''' in '''Microsoft Word''' (Falls du noch nie so etwas erstellt hast, klicke [https://support.microsoft.com/de-de/topic/erstellen-einer-smartart-grafik-fac94c93-500b-4a0a-97af-124040594842 hier].). Das Layout kannst du selber wählen, deiner Kreativität sind keine Grenzen gesetzt.
# Drucke die '''SmartArt-Grafik''' aus und klebe sie auf den '''Arbeitsplan''' zur entsprechenden Aufgabe.


|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|Lösung: Aufgabe 10|
{{Box|Lösung: Aufgabe 15|


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


<u>Zu 2.</u>: <math>\log_{a} \frac{x_{1}}{x_{2}} = \log_{a} \frac{a^{y_{1}}}{a^{y_{2}}} = \log_{a} (a^{y_{1}-y_{2}}) = y_{1} - y_{2} = \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2}</math>.
<u>Zu 1.</u>: Die Richter-Skala liefert ein Beispiel für die Nützlichkeit des Logarithmus. Erdbeben können sowohl sehr kleine als auch extrem große Ausmaße annehmen. Würde man beispielsweise den Ausschlag A für die Angabe der Stärke verwenden, hätte man große Unterschiede zwischen den einzelnen Werten. Daher ist die Anwendung des Logarithmus in diesem Fall sinnvoll.<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>


<u>Zu 3.</u>: <math>\log_{a} x^{r} = \log_{a} ((a^{\log_{a} x})^{r}) = \log_{a} (a^{r \cdot \log_{a} x}) = r \cdot \log_{a} x</math>.
<u>Zu 2.</u>: Möchte man sehr kleine zusammen mit sehr großen Daten übersichtlich darstellen, werden oft logarithmische Skalen gebraucht. Dabei werden nicht die Ausgangszahlen angegeben, sondern ihre Logarithmen. Bei einer linearen Skala wir ein Wert <math>x</math> immer im Abstand <math>\left\vert x \right\vert</math> vom Anfangspunkt aufgetragen. Bei einer logarithmischen Skala beträgt dieser Abstand hingegen <math>\left\vert \log_{a} x \right\vert</math>. Verwendet man beispielsweise den dekadischen Logarithmus, so unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Werte um den Faktor 10. Gleiche Abstände geben also jeweils gleiche Faktoren zwischen den Werten wieder.<ref>Barzel, B., Glade, M. & Klinger, M. (2021). ''Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch''. Berlin: Springer Berlin und Springer Spektrum.</ref>


<u>Zu 4.</u>: Die Behauptung folgt mittels Definition des Logarithmus aus <math>a^{0} = 1</math> und <math>a^{1} = a</math>.
<u>Zu 3.</u>: Logarithmen treten neben der Richter-Skala in weiteren Anwendungen auf. Der pH-Wert, der den sauren oder basischen
Charakter einer wässrigen Lösung angibt, der Schalldruckpegel eines Geräuschs, Sternhelligkeiten in der Astronomie oder Wellenlängen des Spektrums werden in logarithmischen Skalen gemessen.<ref>Neher, M. (2018). ''Anschauliche höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler''. Wiesbaden: Springer Vieweg.</ref>


|2=Lösungserwartung anzeigen|3=Lösungserwartung verbergen}}
|2=Lösungserwartung anzeigen|3=Lösungserwartung verbergen}}
Zeile 175: Zeile 80:
|Lösung}}
|Lösung}}


{{Box|1=Aufgabe 11|
{{Box|1=Aufgabe 16|
2=<u>'''Übungen Logarithmus D'''</u>
2=<u>'''Richter-Skala A'''</u>


Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen. Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 11: Übungen Logarithmus D)''' hast du Platz dafür. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
Beantworte die folgenden Fragen mithilfe der Fähigkeiten, die du bis jetzt erworben hast. Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 16: Richter-Skala A)''' hast du Platz dafür. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>


<br />
<br />
Zeile 185: Zeile 90:
  <div class="width-1-2">
  <div class="width-1-2">


'''a)''' <math>\log_{a} x + \log_{a} \frac{1}{x}</math>
'''a)''' Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in 100 km Entfernung gemessenen) Ausschlag von 0,1 mm (= 100 <math>\mu</math>m) verursacht?


'''b)''' <math>\log_{a} x^{4} - \log_{a} x^{2}</math>
'''b)''' Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in 100 km Entfernung gemessenen) Ausschlag von 0,5 mm (= 500 <math>\mu</math>m) verursacht?


'''c)''' <math>2 \cdot \log_{a} \sqrt{x}</math>
'''c)''' Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke 3 in 100 km Entfernung?


'''d)''' <math>\log_{a} a^{x}</math>
'''d)''' Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke 5,5 in 100 km Entfernung?


'''e)''' <math>\log_{10} (100a) - \log_{10} a</math>
'''e)''' Gibt es Beben mit negativer Magnitude? (Diskutiere diese Frage mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler! <span class="brainy hdg-spech-bubbles fa-lg"></span>)


'''f)'''  <math>2 + \log_{10} \frac{1}{100}</math>
''Die Fragen stammen leicht abgeändert von Embacher (2013).''<ref>Embacher, F. (2013). ''Erdbeben''. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.</ref>
 
'''g)''' <math>\log_{10} \frac{u \cdot v}{w} + \log_{10} w - \log_{10} v</math>
 
'''h)''' <math>\log_{10} (x-y)^{2} - \log_{10} (x-y)</math>  


</div>
</div>
Zeile 207: Zeile 108:
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|


'''a)''' <math>0</math>
'''a)'''  


'''b)''' <math>\log_{a} x^{2}</math>
'''b)'''  


'''c)''' <math>\log_{a} x</math>
'''c)'''  


'''d)''' <math>x</math>
'''d)'''  


'''e)''' <math>2</math>
'''e)'''  


'''f)''' <math>0</math>
}}
 
'''g)''' <math>\log_{10} u</math>
 
'''h)''' <math>\log_{10} (x-y)</math>}}


</div>
</div>
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Aufgabe 12|
2=<u>'''Übungen Logarithmus E'''</u>
Wir haben bei der Definition von <math>\log_{a} x</math>, aber auch bei den Rechenregeln gesehen, dass <math>a,x \in \mathbb{R}^{+}</math>, <math>a \neq 1</math> sein müssen.
# Warum dürfen a und x keine negativen reellen Zahlen sein? Warum darf a nicht gleich 1 sein?
# Versuche, diese Fragen gemeinsam mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler zu beantworten. <span class="brainy hdg-spech-bubbles fa-lg"></span>
# Macht euch Notizen und formuliert eure Vermutungen am '''Arbeitsplan (Aufgabe 12: Übungen Logarithmus E)'''. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Lösung: Aufgabe 12|
{{Lösung versteckt|1=
* '''Warum muss <math>a \in \mathbb{R}^{+}</math> gelten?''' - Wenn a, also die Basis, negativ wäre, könnten wir nur Exponenten aus <math>\mathbb{Z}</math> verwenden. Exponenten aus <math>\mathbb{Q}</math> oder <math>\mathbb{R}</math> sind für negative Basen nicht definiert. Bei diesen Beispielen <math>(-2)^{0}=+1, (-2)^{1}=-2, (-2)^{2}=+4, (-2)^{3}=-8, (-2)^{4}=+16</math>, usw. erhalten wir immer nur bestimmte positive und negative Zahlen als Ergebnis. Für andere als diese Ergebnisse gibt es keine möglichen Exponenten. Der Logarithmus zu einer negativen Basis macht somit meistens keinen Sinn.
* '''Warum muss <math>x \in \mathbb{R}^{+}</math> gelten?''' - Der Logarithmus zu einer negativen Basis ist nicht definiert. Wir erhalten mit positiven Basen nur positive Zahlen als Potenzwerte. Daher kann der Numerus nur eine positive Zahl sein.
** Für <math>a>0, y>0</math> ist <math>x = a^{y}</math> immer positiv.
** Für <math>a>0, y<0, y=-z, z>0</math> ist <math>x = a^{y} = a^{-z} = \frac{1}{a^{z}}</math> ebenso positiv.
* '''Warum muss <math>a \neq 1</math> gelten?''' - Potenziert man 1 mit einer beliebigen reellen Zahl, so erhält man immer wieder 1. <math>1^{y} = x</math> hat keine Lösung, falls <math>x \neq 1</math> und unendlich viele Lösungen, falls <math>x = 1</math>. Somit ist der Logarithmus zur Basis 1 nicht definiert. Ähnliches gilt für die Basis 0.
|2=Lösungserwartung anzeigen|3=Lösungserwartung verbergen}}
|Lösung}}
{{Box|1=Aufgabe 13|
2=<u>'''Übungen Logarithmus F'''</u>
Logarithmen im Kopf auszurechnen, ist nur in einfachen Fällen möglich. Vor der Entwicklung elektronischer Rechenhilfsmittel benutzte man sogenannte Logarithmentafeln zur Bestimmung von Logarithmen. Aufwändig gewonnene Logarithmenwerte waren darin systematisch notiert. Heutige Taschenrechner verwenden ähnliche mathematische Verfahren wie auch schon die Autorinnen und Autoren entsprechender Logarithmentafeln. Dabei werden die Werte hinreichend genau angenähert.<ref>Barzel, B., Glade, M. & Klinger, M. (2021). ''Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch''. Berlin: Springer Berlin und Springer Spektrum.</ref>
<br />
'''Absolviere das folgende Quiz mithilfe von [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] oder deinem Taschenrechner. Informiere dich zuerst, wie man Logarithmen mit dem gewählten Hilfsmittel berechnen kann. Runde auf 2 Dezimalstellen.'''
''' <u>Achtung</u>: Es geht hier um den <u>dekadischen Logarithmus</u> (lg) und den <u>natürlichen Logarithmus</u> (ln)!'''
<br />
{{H5p-zum|id=16252|height=640}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Merke: Exponentialgleichungen|2=
Du kannst bereits lineare oder quadratische Gleichungen lösen. Aber was ist, wenn die <u>'''Unbekannte'''</u> plötzlich <u>'''im Exponenten'''</u> steht? - Alles kein Problem mit dem <u>'''Logarithmus'''</u>!
Wir versuchen nun, die Gleichung <math>6^{2x+1} = 360</math> für <math>x \in \mathbb{R}</math> näherungsweise zu lösen.
<u>'''Dabei gehen wir folgendermaßen vor'''</u>: Wir logarithmieren die Gleichung, das heißt, wir wenden den Logarithmus auf beiden Seiten an. Die Basis des Logarithmus können wir beliebig wählen (Exponentialgleichungen mit der Basis e löst man am einfachsten mit dem natürlichen Logarithmus.). In unserem Fall verwenden wir den dekadischen Logarithmus. Anschließend benutzen wir die Rechenregeln für Logarithmen. Durch weitere Äquivalenzumformungen und mit Technologieeinsatz können wir die Gleichung näherungsweise lösen.
<br />
[[Datei:Exponentialgleichung Musterbeispiel.jpg|600 px|center|alternativtext=Exponentialgleichung Musterbeispiel]]
|3=Merksatz}}
{{Box|1=Aufgabe 14|
2=<u>'''Übungen Logarithmus G'''</u>
# Lies dir die obige Info zum Thema Exponentialgleichungen genau durch.
# Suche dir eine Partnerin oder einen Partner und bildet gemeinsam ein Team. <span class="brainy hdg-spech-bubbles fa-lg"></span>
# Tretet gegen ein anderes Team beim folgenden Memory-Spiel an: Ein Paar besteht immer aus einer Exponentialgleichung und der dazugehörigen Lösung (grün) gerundet auf 2 Dezimalstellen. Notiert euch jeweils die gefundenen Paare pro Team!
# Am '''Arbeitsplan (Aufgabe 14: Übungen Logarithmus G)''' könnt ihr die Exponentialgleichungen schriftlich lösen. <span class="brainy hdg-checklist02 fa-lg"></span>
<br />
{{H5p-zum|id=16253|height=800}}


|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
Zeile 299: Zeile 127:
<br />
<br />


{{Fortsetzung|weiter=Logarithmische Skalen|weiterlink=Erdbeben und Logarithmus/Logarithmische Skalen|vorher=Stärke von Erdbeben|vorherlink=Erdbeben und Logarithmus/Stärke von Erdbeben}}
{{Fortsetzung|weiter=Verhalten bei einem Erdbeben|weiterlink=Erdbeben und Logarithmus/Verhalten bei einem Erdbeben|vorher=Der Logarithmus|vorherlink=Erdbeben und Logarithmus/Der Logarithmus}}


<references />
<references />

Version vom 1. September 2021, 09:58 Uhr


Erdbeben und Logarithmus
  1. Entstehung von Erdbeben
  2. Erdbeben in Österreich
  3. Stärke von Erdbeben
  4. Der Logarithmus
  5. Logarithmische Skalen
  6. Verhalten bei einem Erdbeben
  7. Tsunamis (Optional)
  8. Abschluss


Info: Einstieg

Wir haben nun den Logarithmus aus der Sicht der Mathematik kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, warum er für die Angabe der Stärke von Erdbeben verwendet wird. Wiederholen wir zunächst die Definition der Magnitude.

Im folgenden Kapitel ist immer die Rede vom dekadischen Logarithmus (). bezeichnet die Richter- oder Lokal-Magnitude und den Maximalausschlag eines Seismometers nach Wood und Anderson.


Merke: Definition der Richter-Magnitude

Die Richter-Magnitude oder Lokal-Magnitude ist nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen definiert:

In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist



wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.[1]


Wie kann man den Maximalausschlag in 100 km Entfernung in Mikrometer berechnen, wenn man die Lokal-Magnitude kennt?



Warum kommt eine Steigerung der Lokal-Magnitude um eine Einheit einer Verzehnfachung des Ausschlags gleich?


bzw.


Auch die bei einem Erdbeben freigesetzte Energie () hängt exponentiell von ab:


mit


Somit ist sie näherungsweise proportional zu und somit zu



Steigt die Lokal-Magnitude um 1, entspricht das also einer Ver-32-fachung der freigesetzten Energiemenge. Die Magnitude wird aus diesem Grund auch logarithmisches Maß genannt.[2]


Aufgabe 15

Logarithmische Skalen

  1. Lies dir die obige Info zum Thema Richter-Magnitude genau durch.
  2. Nimm den Arbeitsplan (Aufgabe 15: Logarithmische Skalen) zur Hand.
  3. Versuche, die folgenden Fragen durch eigene Überlegungen und Recherche im Internet stichwortartig am Arbeitsplan zu beantworten.
    1. Warum ist die Verwendung des Logarithmus bei der Richter-Skala sinnvoll?
    2. Wie kann man eine logarithmische Skala allgemein beschreiben?
    3. Wo werden Logarithmen bzw. logarithmische Skalen neben der Erdbebenthematik noch angewendet?
  4. Erstelle mit den eben gesammelten Informationen über logarithmische Skalen eine SmartArt-Grafik in Microsoft Word (Falls du noch nie so etwas erstellt hast, klicke hier.). Das Layout kannst du selber wählen, deiner Kreativität sind keine Grenzen gesetzt.
  5. Drucke die SmartArt-Grafik aus und klebe sie auf den Arbeitsplan zur entsprechenden Aufgabe.


Lösung: Aufgabe 15


Zu 1.: Die Richter-Skala liefert ein Beispiel für die Nützlichkeit des Logarithmus. Erdbeben können sowohl sehr kleine als auch extrem große Ausmaße annehmen. Würde man beispielsweise den Ausschlag A für die Angabe der Stärke verwenden, hätte man große Unterschiede zwischen den einzelnen Werten. Daher ist die Anwendung des Logarithmus in diesem Fall sinnvoll.[3]

Zu 2.: Möchte man sehr kleine zusammen mit sehr großen Daten übersichtlich darstellen, werden oft logarithmische Skalen gebraucht. Dabei werden nicht die Ausgangszahlen angegeben, sondern ihre Logarithmen. Bei einer linearen Skala wir ein Wert immer im Abstand vom Anfangspunkt aufgetragen. Bei einer logarithmischen Skala beträgt dieser Abstand hingegen . Verwendet man beispielsweise den dekadischen Logarithmus, so unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Werte um den Faktor 10. Gleiche Abstände geben also jeweils gleiche Faktoren zwischen den Werten wieder.[4]

Zu 3.: Logarithmen treten neben der Richter-Skala in weiteren Anwendungen auf. Der pH-Wert, der den sauren oder basischen

Charakter einer wässrigen Lösung angibt, der Schalldruckpegel eines Geräuschs, Sternhelligkeiten in der Astronomie oder Wellenlängen des Spektrums werden in logarithmischen Skalen gemessen.[5]


Aufgabe 16

Richter-Skala A

Beantworte die folgenden Fragen mithilfe der Fähigkeiten, die du bis jetzt erworben hast. Am Arbeitsplan (Aufgabe 16: Richter-Skala A) hast du Platz dafür.


a) Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in 100 km Entfernung gemessenen) Ausschlag von 0,1 mm (= 100 m) verursacht?

b) Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in 100 km Entfernung gemessenen) Ausschlag von 0,5 mm (= 500 m) verursacht?

c) Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke 3 in 100 km Entfernung?

d) Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke 5,5 in 100 km Entfernung?

e) Gibt es Beben mit negativer Magnitude? (Diskutiere diese Frage mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler! )

Die Fragen stammen leicht abgeändert von Embacher (2013).[6]


a)

b)

c)

d)

e)


Der Logarithmus
Verhalten bei einem Erdbeben
  1. ↑ Embacher, F. (2013). Erdbeben. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.
  2. ↑ Embacher, F. (2013). Erdbeben. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.
  3. ↑ Embacher, F. (2013). Erdbeben. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.
  4. ↑ Barzel, B., Glade, M. & Klinger, M. (2021). Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch. Berlin: Springer Berlin und Springer Spektrum.
  5. ↑ Neher, M. (2018). Anschauliche höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Wiesbaden: Springer Vieweg.
  6. ↑ Embacher, F. (2013). Erdbeben. Zugriff am 2019.06.25 auf https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2014/Erdbeben.pdf.


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