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Aufgaben

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Vermischte Aufgaben zu quadratischen Gleichungen und zu quadratischen Funktionen

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben

1. Bestimmen Sie mit einem Ihnen bekannten Verfahren die Lösungen folgender quadratischen Gleichungen.

a) 4x^2 -16=0\; b) 1-81x^2=0\; c) x^2 -\frac {1} {2}=0\;
d) x^2+4x=0\; e) x^2-6x=0\; f) (x-1)(x+1)^2=0\;

a)L=\{2;-2\}\;         b)L=\left\lbrace\frac{1}{9};-\frac{1}{9}\right\rbrace\;              c)L=\left\lbrace\sqrt{\frac{1}{2}} ;-\sqrt{\frac{1}{2}}\right\rbrace\;
d)L=\{0;-4\}\;         e)L=\{0;6\}\;                  f)L=\{1;-1\}\; 


2. Formen Sie die Gleichung um und bestimmen Sie x.

-24-x=6x^2+23x+12\;

-24-x=6x^2+23x+12|+24+x\;
\Leftrightarrow 6x^2+24x+36=0|:6\;
\Leftrightarrow x^2+4x+6=0\; Normalform der quadratischen Gleichung
\Leftrightarrow 6x^2+24x+36=0|:6\;
p=4\;     q=6\;      D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=4-6=-2<0\; 
\Rightarrow Die quadratische Gleichung hat keine Lösung L=\{ \}\;


3. Lösen Sie die quadratische Gleichung.

0=0{,}1x^2+0{,}4x+0{,}4\;

0=0{,}1x^2+0{,}4x+0{,}4|\cdot10\;
\Leftrightarrow x^2+4x+4=0\; Normalform der quadratischen Gleichung
p=4\;     q=4\;      D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=4-4=0\; 
\RightarrowDie quadratische Gleichung hat eine doppelte Lösung:
x_{1,2}=-\frac{p}{2}=-\frac{4}{2}=-2


4. Lösen Sie die quadratische Gleichung.

\frac{1} {4}x^2+2x-\frac{2} {5}=0\;

\frac{1}{4}x^2+2x-\frac{2}{5}=0|\cdot4\;
\Leftrightarrow x^2+8x-\frac{8}{5}=0\; Normalform der quadratischen Gleichung
p=8\;     q=-\frac{8}{5}\;      D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=16+\frac{8}{5}=\frac{88}{5}>0\; 
\RightarrowDie quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:
x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\Rightarrow x_1=-4+\sqrt{\frac{88}{5}}\approx 0{,}195 \lor x_2=-4-\sqrt{\frac{88}{5}}\approx -8{,}195 \;
Eine andere Form der Darstellung:
x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\Rightarrow\begin{cases}x_1=-4+\sqrt{\frac{88}{5}}\approx 0{,}195\\x_2=-4-\sqrt{\frac{88}{5}}\approx -8{,}195 \end{cases}\;


5. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte folgender Funktionen und zeichnen Sie die Graphen jeweils in ein geeignetes Koordinatensystem.

a) f(x)=(x-1)^2-1\; b) f(x)=(x-2)^2-1\;

a) Scheitelpunkt: S(1|-1)\;

   Nullstellen: x_1=0\;     x_2=-2\;
   Schnittpunkte mit der y- Achse: P_y(0|0)\;
   Schnittpunkte mit der x- Achse: P_{x1}(0|0)\;     P_{x2}(2|0)\;
   Mc 0001.gif
 

b) Scheitelpunkt: S(2|-1)\;

   Nullstellen: x_1=1\;     x_2=3\;
   Schnittpunkte mit der y- Achse: P_y(0|3)\;
   Schnittpunkte mit der x- Achse: P_{x1}(1|0)\;     P_{x2}(3|0)\;
   Mc 0002.gif


6. Bestimmen Sie von folgenden quadratischen Funktionen die Achsenschnittpunkte, den Scheitelpunkt und die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung. Wie ist die Parabel aus der Normalparabel entstanden? Zeichnen Sie den Graphen in ein Koordinatensystem.

a) f(x)=-\frac{1} {2}x^2-2x+6\; b) f(x)=-\frac{1} {3}x^2-\frac{2} {3}x-2\;

a) Achsenschnittpunkte: P_y(0|6)\;     P_{x1}(2|0)\;     P_{x2}(-6|0)\;

   Scheitelpunkt: S(-2|8)\;
   Scheitelpunktform: f(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^2 +8\;
   Die Normalparabel ist um den Faktor \frac{1}{2} gestaucht und nach unten geöffnet. 
   Sie ist um 2 Einheiten nach links und um 8 Einheiten nach oben verschoben.
   Mc 0003.gif
b)Achsenschnittpunkte: P_y(0|-2)\; 
  P_{x1}(1+\sqrt{7}\approx 3{,}646|0)\; 
  P_{x2}(1-\sqrt{7}\approx -1{,}646|0)\; 
  Scheitelpunkt: S\left (1|-\frac{7}{3}\right)\;
  Scheitelpunktform: f(x)=\frac{1}{3}(x-1)^2 -\frac{7}{3}\;
  Die Normalparabel ist um den Faktor \frac{1}{3} gestaucht und nach oben geöffnet. 
  Sie ist um eine Einheit nach rechts und um \frac{7}{3} Einheiten nach unten verschoben.
  Mc 0004.gif


7. Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt.

K(v)=0{,}002v^2-0{,}18v+8{,}55\; für v>40\;
Dabei bedeuten: K(v) der Kraftstoffverbrauch in Liter/100 km und v die Geschwindigkeit in km/h.
a) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 7 Liter auf 100 km?
b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

a) K(v)=0{,}002v^2-0{,}18v+8{,}55 \;     für     v>40\;
   K(v)=7\Leftrightarrow 0{,}002v^2-0{,}18v+8{,}55=7\Leftrightarrow v^2-90v+775=0 \;
   p=-90\;     q=775\;      D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=2025-775=1250\; 
   v_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\Rightarrow\begin{cases}v_1=45+\sqrt{1250}\approx 80{,}36\\v_2=45-\sqrt{1250}\approx 9{,}6 & \mbox{scheidet aus wegen }v>40\end{cases}\;
   Bei einer Geschwindigkeit von etwa 80,36 km/h ist der Verbrauch 7 Liter auf 100 km.
b) Der Funktionsgraph von K(v) stellt eine nach oben geöffnete Parabel da, deren Scheitelpunkt das Minimum bildet.
   Über die bekannten Nullstellen lässt sich der v- Wert des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
   v_{sp}=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{45+\sqrt{1250}+45-\sqrt{1250}}{2}=45\;
   K(45)=0{,}002\cdot 45^2-0{,}18\cdot 45+8{,}55=4{,}5\;
   Bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h ist der Verbrauch mit 4,5 Liter auf 100 km am geringsten.


8. Beschreiben Sie schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht und wie sie geöffnet ist. Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt?

a) f(x)=(x+2)^2-9\; b) f(x)=-\frac{1} {2}(x-4)^2-3\;
c) f(x)=-\frac{7}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{5} {4}\; d) f(x)=-4\left(x+\frac{3} {4}\right)^2-\frac{1} {3}\;


9. Bestimmen Sie den größten bzw. kleinsten Wert der Funktion f(x).

a) f(x)=(x-2)^2-2x-2\; b) f(x)=-0{,}5x^2+0{,}5x-6\;


10. Welches Rechteck mit dem Umfang U = 18 cm hat den größten Flächeninhalt? Bestimmen Sie die Seiten a und b des Rechtecks.

Vorlage:Lösung versteckt grau


Lösungen

Ergebnisse zu Aufgabe 1

a) L=\{2;-2\}\; b) L=\left\lbrace\frac{1}{9};-\frac{1}{9}\right\rbrace\; c) L=\left\lbrace\sqrt{\frac{1}{2}} ;-\sqrt{\frac{1}{2}}\right\rbrace\;
d) L=\{0;-4\}\; e) L=\{0;6\}\; f) L=\{1;-1\}\;


Lösung zu Aufgabe 2

-24-x=6x^2+23x+12|+24+x\;

\Leftrightarrow 6x^2+24x+36=0|:6\;

\Leftrightarrow x^2+4x+6=0\; Normalform der quadratischen Gleichung

\Leftrightarrow 6x^2+24x+36=0|:6\;

p=4\;     q=6\;     D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=4-6=-2<0\;

\Rightarrow Die quadratische Gleichung hat keine Lösung L=\{ \}\;


Lösung zu Aufgabe 3

0=0{,}1x^2+0{,}4x+0{,}4|\cdot10\;

\Leftrightarrow x^2+4x+4=0\; Normalform der quadratischen Gleichung

p=4\;     q=4\;     D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=4-4=0\;

\RightarrowDie quadratische Gleichung hat eine doppelte Lösung:

x_{1,2}=-\frac{p}{2}=-\frac{4}{2}=-2


Lösung zu Aufgabe 4

\frac{1}{4}x^2+2x-\frac{2}{5}=0|\cdot4\;

\Leftrightarrow x^2+8x-\frac{8}{5}=0\; Normalform der quadratischen Gleichung

p=8\;     q=-\frac{8}{5}\;     D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=16+\frac{8}{5}=\frac{88}{5}>0\;

\RightarrowDie quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\Rightarrow x_1=-4+\sqrt{\frac{88}{5}}\approx 0{,}195 \lor x_2=-4-\sqrt{\frac{88}{5}}\approx -8{,}195 \;

Eine andere Form der Darstellung:

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\Rightarrow\begin{cases}x_1=-4+\sqrt{\frac{88}{5}}\approx 0{,}195\\x_2=-4-\sqrt{\frac{88}{5}}\approx -8{,}195 \end{cases}\;


Ergebnis zu Aufgabe 5

a) Scheitelpunkt:

S(1|-1)\;

Nullstellen: x_1=0\;     x_2=-2\;

Schnittpunkte mit der y- Achse:

P_y(0|0)\;

Schnittpunkte mit der x- Achse:

P_{x1}(0|0)\;     P_{x2}(2|0)\;

Mc 0001.gif
b) Scheitelpunkt:

S(2|-1)\;

Nullstellen: x_1=1\;     x_2=3\;

Schnittpunkte mit der y- Achse:

P_y(0|3)\;

Schnittpunkte mit der x- Achse:

P_{x1}(1|0)\;     P_{x2}(3|0)\;

Mc 0002.gif


Ergebnis zu Aufgabe 6

a) Achsenschnittpunkte:

P_y(0|6)\;     P_{x1}(2|0)\;     P_{x2}(-6|0)\;

Scheitelpunkt: S(-2|8)\;

Scheitelpunktform: f(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^2 +8\;

Die Normalparabel ist um den Faktor \frac{1}{2} gestaucht und nach unten geöffnet. Sie ist um 2 Einheiten nach links und um 8 Einheiten nach oben verschoben.

Mc 0003.gif
b) Achsenschnittpunkte: P_y(0|-2)\;

P_{x1}(1+\sqrt{7}\approx 3{,}646|0)\;

P_{x2}(1-\sqrt{7}\approx -1{,}646|0)\;

Scheitelpunkt: S\left (1|-\frac{7}{3}\right)\;

Scheitelpunktform: f(x)=\frac{1}{3}(x-1)^2 -\frac{7}{3}\;

Die Normalparabel ist um den Faktor \frac{1}{3} gestaucht und nach oben geöffnet. Sie ist um eine Einheit nach rechts und um \frac{7}{3} Einheiten nach unten verschoben.

Mc 0004.gif


Lösung zu Aufgabe 7

a) K(v)=0{,}002v^2-0{,}18v+8{,}55 \;     für     v>40\;

K(v)=7\Leftrightarrow 0{,}002v^2-0{,}18v+8{,}55=7\Leftrightarrow v^2-90v+775=0 \;

p=-90\;     q=775\;     D=\left(\frac{p}{2} \right)^2-q=2025-775=1250\;

v_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\Rightarrow\begin{cases}v_1=45+\sqrt{1250}\approx 80{,}36\\v_2=45-\sqrt{1250}\approx 9{,}6 & \mbox{scheidet aus wegen }v>40\end{cases}\;

Bei einer Geschwindigkeit von etwa 80,36 km/h ist der Verbrauch 7 Liter auf 100 km.

b) Der Funktionsgraph von K(v) stellt eine nach oben geöffnete Parabel da, deren Scheitelpunkt das Minimum bildet. Über die bekannten Nullstellen lässt sich der v- Wert des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

v_{sp}=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{45+\sqrt{1250}+45-\sqrt{1250}}{2}=45\;

K(45)=0{,}002\cdot 45^2-0{,}18\cdot 45+8{,}55=4{,}5\;

Bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h ist der Verbrauch mit 4,5 Liter auf 100 km am geringsten.


Lösung zu Aufgabe 8

a) Normalparabel, verschoben um 2 Einheiten nach links, um 9 Einheiten nach unten, nach oben geöffnet. S(-2|9)\; b) Normalparabel, verschoben um 4 Einheiten nach rechts, um 3 Einheiten nach unten, nach oben geöffnet, um den Faktor \frac{1}{2} gestaucht. S(4|-3)\;
c) Normalparabel, verschoben um \frac{3}{2} Einheiten nach rechts, um \frac{5}{4} Einheiten nach oben, nach unten geöffnet um den Faktor \frac{7}{3} gestreckt. S\left (\frac{3}{2}|\frac{5}{4}\right)\; d) Normalparabel, verschoben um \frac{3}{4} Einheiten nach links, um \frac{1}{3} Einheiten nach unten, nach unten geöffnet, um den Faktor 4 gestreckt. S\left (-\frac{3}{4}|-\frac{1}{3}\right)\;


Lösung zu Aufgabe 9

a)

f(x)=(x-2)^2-2x-2=x^2-6x+2\;

Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt Minimum ist.

f(x)=x^2 -6x+3^2-3^2+2=(x-3)^2-7\;

\Rightarrow S(3|-7)\;

\Rightarrow f(3)=-7\; ist der kleinste Wert.

b)

f(x)=-0{,}5x^2+0{,5}x-6\;

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt Maximum ist.

f(x)=-0{,}5[x^2-x+12]\;

=-0{,}5\left[x^2-x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+12\right]\;

=-0{,}5\left[\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{47}{4}\right]\;

=-0{,}5\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{47}{8}\;

\Rightarrow S\left(\frac{1}{2}|-\frac{47}{8}\right)\;

\Rightarrow f(\frac{1}{2})=-\frac{47}{8}\; ist der größte Wert.


Lösung zu Aufgabe 10

Umfang eines Rechtecks: U=2a+2b\; Rechteckfläche: A=a\cdot b\;

Ansatz: U=2a+2b \Rightarrow b=\frac{U}{2}-a\; in die Flächenformel einsetzen.

A(a)=a\cdot \left(\frac{U}{2}-a \right)=\frac{U}{2}a-a^2=-a^2+\frac{U}{2}a\; Parabel, nach unten geöffent

Die Scheitelkoordinaten liefern das Maximum für die Fläche.

A(a)=-1\left[a^2-\frac{U}{2}a     +\left(\frac{U}{4}\right)^2-\left(\frac{U}{4}\right)^2\right]=-\left( a-\frac{U}{4}\right)^2+\left (\frac{U}{4}\right)^2\; Scheitelpunktform

\Rightarrow S\left(\frac{U}{4}|\left (\frac{U}{4}\right)^2\right)\Rightarrow\;     für     a=\frac{U}{4}     ist     A(a)=\left (\frac{U}{4}\right)^2\; das Flächenmaximum

Für U = 18 cm \; gilt: a=\frac{18 cm}{4}=4{,}5 cm\;     und     b=\frac{U}{2}-a=9cm -4{,}5 cm=4{,}5 cm\;

Für a = 4,5 cm und b = 4,5 cm hat das Rechteck den größten Flächeninhalt.

A=a\cdot b=4{,}5 cm \cdot 4{,}5 cm=20{,}25 cm^2\; Das ist ein Quadrat.

Bitte mit U = 30 cm überprüfen.


Weblinks

Aufgabensammlung Eine umfangreiche Aufgabensammlung zu Oberstufenthemen

Siehe auch