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Graphische Erklärung der Kettenregel

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Kurzinfo

Inhaltsverzeichnis

Eine Einführung zum graphischen Verständnis der Kettenregel

Motivation

Abbildung 1 Steigung im Punkt z, mit Parameter a=1

In der Oberstufenmathematik ist die Kettenregel ein fester Bestandteil der Differentialrechnung. Einige verkettete Funktionen, so wie Verkettungen der Exponentialfunktion, der Wurzelfunktion oder der Sinus und der Cosinus können ohne die Kettenregel nicht abgeleitet werden. Später in der Integralrechnung findet die Kettenregel Anwendung in der Integration durch Substitution. Die Kettenregel merken sich viele Schüler mit dem Merksatz "Innere Ableitung mal äußere Ableitung" und nicht unter der formal richtigeren Formulierung wie sie etwas weiter unten nachzulesen ist.

Abbildung 2 Parameter a=2
Abbildung 3 Parameter a=3

"Aber warum funktioniert die Kettenregel?" Sicherlich fragen sich das einige Schüler wenn neue Rechenregeln eingeführt werden. Hierzu nutzt der Lehrer dann gerne einen formalen Beweis. Der Beweis der Kettenregel ist zur Zeit nicht Bestandteil des Lehrplans, außerdem können viele Schüler mit einem formalen Beweis wenig anfangen. Dieser trägt oft nicht zum gewünschten Verständnis bei.

Mit den relativ neuen Computer-Algebra-Systemen, kurz CAS, tun sich in der Mathematik neue Möglichkeiten auf "alte" Regeln einfacher verständlich zu machen. Durch die hohe Rechenleistung lassen sich Probleme und mathematische Regeln mit wenigen "Klicks" anschaulich machen. Im Falle unserer Kettenregel können die Schüler, mit hilfe des in der folgenden Aufgabe geschriebenen Programs, die Kettenregel in einem einfachen Fall selber entdecken. Wobei die "innere" Funktion hier erst einmal durch eine veränderliche Konstante repräsentiert wird. In den Abbildungen 1,2 und 3 kann man am Beispiel der Sinusfunktion als "äußere" und dem Parameter a als "innere" Funktion den Zusammenhang zwischen der Steigung in dem Punkt z (oder Ableitung in dem Punkt) und der Änderung des Parameters feststellen.









Aufgaben

Du benötigst zum Lösen der Aufgaben einen CAS-fähigen Taschenrechner oder ein anderes CAS auf dem Computer z.B. GeoGebra.

Stift.gif   Aufgabe

1. Lass dir im Modus Graphs eine Funktion zeichnen (es bieten sich  cos(x), sin(x), e^{x} an) an der du in einem belibigen Punkt x_{0} ein Steigungsdreieck konstruierst und dir die Steigung anzeigen lässt. Um diesen Punkt flexibel zu machen, kannst du einen Schieberegler für ihn einfügen und eine Maßübertragung machen.

2. Füge einen Schieberegler mit Variabler a ein und setze deine Funktion in Abhängigkeit von a\cdot x.

3. Beobachte nun, wie sich die Steigung zum Parameter a verhält. Was sagt das über die Ableitung aus?
Tipp:Vielleicht gibt es einen Punkt in dem man das auftretende Phänomen besonders gut beobachten kann.

4. Vergleiche deine Ergebnisse mit denen deiner Nachbarn! Überlegt wie eine Regel für die Ableitung einer Funktion der Form f(t\cdot x) für alle t\in\mathbb{R} aussehen könnte!

Information icon.svg Lösung


Die Kettenregel

Seien f:V\rightarrow \mathbb{R} und g:W\rightarrow \mathbb{R} Funktionen mit f(V)\subset W. Die Funktion f sei im Punkt x \in V differenzierbar und g sei in y:=f(x)\in W differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion:

g(f(x)):=g\circ f :V\rightarrow \mathbb{R}

im Punkt x differenzierbar und es gilt:

 (g(f(x)))^{\prime}=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)

Graphische Interpretation (vorläufig)

Motivation

Um von unserer, im oberen Teil gewonnenen, Vorahnung von der Kettenregel nun zur Regel selbst zu gelangen, wollen wir uns eine Funktion anschauen die sowohl mit der Kettenregel, als auch mit der bekannten Produktregel gelöst werden kann. Wir wollen die Ableitung der Funktion f(x)=(x^{2}-1)^{2} bestimmen. Hierzu definieren wir f(x):=v(u(x)), mit v(z)=z^{2} als äußere Funktion und u(x)=x^{2}-1=z als innere Funktion. Wobei z eine Substitution für x^{2}-1 ist. Wir können die Ableitung dieser beiden Funktionen bilden, v^{\prime}(z)=2\cdot z=2(x^{2}-1) somit haben wir die Ableitung unserer äußeren Funktion, aber was geschiet nun mit der Ableitung der inneren Funktion u^{\prime}(x)=2\cdot x?

An dieser Stelle wollen wir uns die Lösung der Ableitung von f(x) mit der Produktregel ansehen:
f^{\prime}(x)=2x\cdot (x^{2}-1)+(x^{2}-1)\cdot 2x=2x\cdot2(x^{2}-1)=u^{\prime}(x)\cdot v^{\prime}(u(x))
Die Vermutung liegt nahe, das die Ableitung von f gleich dem Produkt der Ableitungen von u(x) und v(z) ist. Wobei v(z) die Funktion v ausgewertet an der Stelle u(x) ist.
Um sich vorzustellen, wie solch eine Auswertung an einer anderen Stelle aussieht betrachten wir die folgende Abbildung 4:

Abbildung 4 Funktion f(x)=v(u(x))=e^{-x^{2}}

Stift.gif   Aufgabe

1. Beschreibe was in Abbildung 4 zu sehen ist! Hier ist eine verkettete Funktion zu sehen (welche?), was sind die Funktionen u und v?

2. Wo erkennst du in Abbildung 4 eine Auswertung einer Funktion an einem Funktionswert(z.B. u(x)=y) einer anderen Funktion?

3. Schreibe ein Programm, dass dir ein Bild wie in Abbildung 4 liefern kann!

4. Wie könnte man dieses Programm zur besseren Anschauung variieren? Hast du eine andere Idee die Kettenregel graphisch darzustellen?

Einbettung in den Lehrplan

Benötigte Vorkenntnisse der Schüler

  • Funktionenbegriff (Funktion, Funktionswert...)
  • Tangentenbegriff
  • Steigungs-/Ableitungsbegriff
  • Verkettung von Funktionen
  • Vertrauter Umgang mit einem CAS fähigen Rechner

Was sie daraus lernen können
Die Schüler müssen zur Bearbeitung der Aufgaben vorhandenes Wissen über die Steigung und ihr Verhältnis zur Ableitung verwenden und dadurch auch vertiefen und festigen. Abgezielt wird dadurch natürlich auf den Transfer der gewonnenen Erkenntnisse auf die Kettenregel. Dadurch könnte sich eine Erleichterung der Anwendung dieser ergeben.

Nutzen für die Zukunft
Wie schon in der Motivation erwähnt kommt die Kettenregel auch in der Integrationsrechnung vor. Nicht nur bei der Integration durch Substitution spiel sie eine Rolle. So kann man zu manchen Funktionen schnell die Stammfunktion finden, wenn man ein Produkt aus einer verketteten Funktion und deren „inneren“ Ableitung erkennt.

Literatur

  • Forster, Otto: Analysis 1; Differential und Integralrechnung einer Veränderlichen. 9.Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2008.
  • Weber; Zillmer: Mathematik; Lehrbuch Gymnasiale Oberstufe Leistungskurs. Duden Paetec, Berlin 2009.
  • Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen(Hrsg.): Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II-Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen: Mathematik. Ritterberg, Frechen 1999.