Charakteristische Punkte von Funktionsgraphen

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Um Funktionsgraphen qualitativ (d.h. nur den Verlauf, nicht aber zwangsläufig die genauen Funktionswerte zu berücksichtigend) zeichnen zu können, ist es notwendig, die charakterisitischen Punkte (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) eines Graphen bestimmen zu können.
Es existieren geometrisch anschauliche Zusammenhänge zwischen den charakteristischen Punkten des Funktionsgraphen und denen der ersten und zweiten Ableitung. Diese sollen in den folgenden Aufgaben näher betrachtet werden.

Aufgabe 1

a) Zeichne mit Geogebra den Graphen einer beliebigen ganzrationalen Funktion von der Form f(x)=ax3+bx2+cx+d.
Lies anhand des Graphen die Nullstellen, die Extrempunkte und den Wendepunkt ab der Funktion f ab.
Überprüfe deine Ergebnisse mit den Befehlen "Nullstelle[f]", "Extremum[f]" und "Wendepunkt[f]" (oder mit der G SOLV-Funktion des GTR).

b) Speichere die folgende Geogebra-Datei auf dem Desktop und öffne sie. Bestimme die charakteristischen Punkte der Funktion durch Ablesen.
Überprüfe deine Ergebnisse mithilfe der Kontrollkästchen (Ein-/Ausblenden).

Geogebra.png Charakteristische Punkte

Aufgabe 2

Mit der folgenden Geogebra-Datei kannst du mithilfe der Tangtensteigung Zusammenhänge zwischen der Funktion und der ersten Ableitung entdecken.

Geogebra.png Tangentensteigung und charakteristische Punkte

Verschiebe den Punkt A auf dem Funktionsgraphen und beobachte, was mit den Tangenten passiert.
Beantworte folgende Fragen:

a) Wie sehen die Tangenten an den Graphen in den Extremstellen aus? Wie ist der Wert der Ableitung an diesen Stellen?

b) Wie ändert sich die Steigung der Tangenten links und rechts vom Wendepunkt?

c) Ändere die Parameter mit den Schiebereglern und untersuche den neu entstandenen Funktionsgraphen auf dieselben Zusammenhänge.
Untersuche mehrere Graphen, bis du Sicherheit über die Zusammenhänge erlangt hast.

d) Kannst du den Zusammenhängen aus a) und b) Schritte des rechnerischen Verfahrens zur Bestimmung von Extremstellen zuordnen?


Aufgabe 3

Benenne mithilfe des Geogebra-Applets Zusammenhänge der charakteristischen Punkte des Funktionsgraphen mit dem Graphen der zweiten Ableitung.

Geogebra.png Zusammenhänge zwischen Funktion und 2. Ableitung


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