Lösung von Aufg. 10.1

Aus Geowiki

Es sei $LaTeX: %5C%20%5CEpsilon$ eine Ebene, die durch die Gerade $LaTeX: %5C%20g$ in die beiden Halbebenen $LaTeX: %5C%20gQ%5E%2B$ und $LaTeX: %5C%20gQ%5E-$ eingeteilt wird. Ferner sei $LaTeX: %5C%20R$ ein Punkt der Halbebene $LaTeX: %5C%20gQ%5E-$ , der nicht auf der Trägergeraden $LaTeX: %5C%20g$ liegen möge. Beweisen Sie: $LaTeX: %5C%20gR%5E%2B%20%5Cequiv%20%20gQ%5E-$ und $LaTeX: %5C%20gR%5E-%20%5Cequiv%20gQ%5E%2B%20$

Lösung ----Schnirch 13:52, 19. Jan. 2011 (UTC)

Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:
Voraussetzung: $LaTeX: %5C%20%7BgQ%7D%5E%7B%2B%7D$ und $LaTeX: %5C%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D$ ; $LaTeX: R%20%5Cin%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D%20$ mit $LaTeX: R%20%5Cnot%20%5Cin%20g%20$
Behauptung: 1) $LaTeX: %7BgR%7D%5E%7B%2B%7D%20%5Cequiv%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D$ und 2) $LaTeX: %7BgR%7D%5E%7B-%7D%20%5Cequiv%20%7BgQ%7D%5E%7B%2B%7D$ , d. h.
zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:
a) $LaTeX: %5Cforall%20P%5Cin%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D%20%5CRightarrow%20P%5Cin%20%7BgR%7D%5E%7B%2B%7D$ und b) $LaTeX: %5Cforall%20P%5Cin%20%7BgR%7D%5E%7B%2B%7D%20%5CRightarrow%20P%5Cin%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D$
sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: nkoll(P,Q,R)
Fall 2: koll(P,Q,R)

Beweis zu 1a, Fall 1:

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$LaTeX: %5C%20P%5Cin%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D%20$	nach Vor.
(II)	$LaTeX: %5Coverline%20%7BPQ%7D%20%5Ccap%20g%20%5Cneq%20%5Clbrace%20%5Crbrace%20$	nach Definition Halbebene
(III)	$LaTeX: %5C%20R%5Cin%20%7BgQ%7D%5E%7B-%7D$	nach Vor.
(IV)	$LaTeX: %5Coverline%20%7BRQ%7D%20%5Ccap%20g%20%5Cneq%20%5Clbrace%20%5Crbrace%20$	(III) und Definition Halbebene
(V)	$LaTeX: %5Coverline%20%7BRP%7D%20%5Ccap%20g%20%3D%20%5Clbrace%20%5Crbrace%20$	(II), (IV), Axiom v. Pasch
(VI)	$LaTeX: %5C%20P%5Cin%20%7BgR%7D%5E%7B%2B%7D$	(V) und Definition Halbebene