Lösung von Aufg. 10.1: Unterschied zwischen den Versionen

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(Die Seite wurde neu angelegt: Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> eingeteilt wird. F...)
 
 
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Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv  gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math>
 
Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv  gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math>
  
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== Lösung ----[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:52, 19. Jan. 2011 (UTC)==
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Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:<br />
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'''Voraussetzung:''' <math>\ {gQ}^{+}</math> und <math>\ {gQ}^{-}</math>; <math>R \in {gQ}^{-} </math> mit <math>R \not \in g </math>
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<br />'''Behauptung:''' 1) <math>{gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}</math> und 2) <math>{gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}</math>, d. h. <br\>
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zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:<br />
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a) <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}</math> und b) <math>\forall P\in {gR}^{+} \Rightarrow P\in {gQ}^{-}</math><br\>
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sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:<br />
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Fall 1: nkoll(''P,Q,R'')<br />
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Fall 2: koll(''P,Q,R'')<br />
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| nach Vor.
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| <math>\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math>
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| (III) und Definition Halbebene
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| (II), (IV), Axiom v. Pasch
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| (V) und Definition Halbebene
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Fall 2, analog zur Lösung in der Probeklausur<br />
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1b) analog zur hier vorgestellten Lösung<br />
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2) analog zu 1)
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
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Aktuelle Version vom 19. Januar 2011, 14:52 Uhr

Es sei \ \Epsilon eine Ebene, die durch die Gerade \ g in die beiden Halbebenen \ gQ^+ und \ gQ^- eingeteilt wird. Ferner sei \ R ein Punkt der Halbebene \ gQ^-, der nicht auf der Trägergeraden \ g liegen möge. Beweisen Sie: \ gR^+ \equiv  gQ^- und \ gR^- \equiv gQ^+

Lösung ----Schnirch 13:52, 19. Jan. 2011 (UTC)

Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:
Voraussetzung: \ {gQ}^{+} und \ {gQ}^{-}; R \in {gQ}^{-} mit R \not \in g
Behauptung: 1) {gR}^{+} \equiv {gQ}^{-} und 2) {gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}, d. h.
zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:
a) \forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+} und b) \forall P\in {gR}^{+} \Rightarrow P\in {gQ}^{-}
sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: nkoll(P,Q,R)
Fall 2: koll(P,Q,R)

Beweis zu 1a, Fall 1:

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \ P\in {gQ}^{-} nach Vor.
(II) \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace nach Definition Halbebene
(III) \ R\in {gQ}^{-} nach Vor.
(IV) \overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace (III) und Definition Halbebene
(V) \overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace (II), (IV), Axiom v. Pasch
(VI) \ P\in {gR}^{+} (V) und Definition Halbebene

Fall 2, analog zur Lösung in der Probeklausur
1b) analog zur hier vorgestellten Lösung
2) analog zu 1)