Sätze WS10/11

Hier geht es zu den Axiome WS10/11

Hier geht es zu den Definitionen WS10/11

Sätze

Sätze I

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2 (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3 (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.4 (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie)

Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.

Satz I.5

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Sätze II

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$.

Satz II.2

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$.

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.

Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$.

Satz II.4

Es sei $\ O$ ein Punkt einer Geraden $\ g$.

Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$, $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $\ g$.

Sätze III

Satz III.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Sätze IV

Satz IV.1

Wenn $\ Q_2$ ein Punkt der Halbebene $\ {gQ_1}^{+}$ ist, dann gilt $\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}$ und $\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}$.

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Sätze V

Satz V.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Satz V.2

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$.

Satz V.3 (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Satz V.4

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Satz V.5 (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. Ferner sei $\ P$ ein Punkt auf $\ g$. In der Ebene $\ \Epsilon$ gibt es genau eine Gerade $\ s$, die durch $\ P$ geht und senkrecht auf $\ g$ steht.

Sätze VI

Satz VI.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Satz VI.1 1/2

Es sei $\ SW^+$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$. Dann gilt $| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |$.

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

Sätze VII

Satz VII.1

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.2

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.3

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.4 (Kongruenzsatz WSW)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

1. $\overline{AB} \cong \overline{DE}$
2. $\angle CAB \cong \angle FDE$
3. $\angle ABC \cong \angle DEF$

gelten,
dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Der Kongruenzsatz SSS

Hier dürfen und sollen Sie sich austoben. Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

Satz VII.5 Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Satz VII.6 (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge $\ M$ von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke $\ \overline{AB}$, wenn für jeden Punkt $\ P \in\ M$ gilt: $\overline{AP} \cong \overline{BP}$.

Satz VII.6a

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

(hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.)

Satz VII.6b

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

(notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Sätze VIII

Satz VIII.1 (schwacher Außenwinkelsatz)

Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

Lemma 2

Wenn ein Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ liegt, dann liegt der gesamte Strahl $\ SP^+$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ .

Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Sätze IX

Satz IX.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.

Satz IX.2 (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

$\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Satz IX.3 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Sätze X

Satz X.1 (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\ \alpha$ und $\ \beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $\ c$ mit $\ a$ und $\ b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\ \alpha$ und $\ \beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $\ a$ und $\ b$ parallel zueinander.

Sätze XI

Satz XI.1 (Existenz von Parallelen)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parallel zu $\ g$ ist.

Sätze XII

Satz XII.1 (Stufenwinkelsatz)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.

Satz XII.2 (Wechselwinkelsatz)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.

Satz XII.3

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.