Rationale Zahlen vs. natürliche Zahlen, Division von Brüchen II, 16.06.2015

Rationale Zahlen vs. natürliche Zahlen

	[$\mathbb{N}$,*]	[$\mathbb{Q+}$,*]
* ist assoziativ	ja	ja
$\forall{m}$$\exists{e}:{e}\cdot{m}=m$	ja, gilt für 1	ja, gilt für alle $\frac{n}{n}$
$\forall{m}$$\exists{m^{-1}}:{m}\cdot{m^{-1}}=e$	nein	ja, zum Beispiel für $\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=\frac{1}{1}$
$\forall{m},{n}:{m}\cdot{n}={n}\cdot{m}$ (Kommutativität)	ja	ja
${a}\cdot{x}={b}$ ist immer lösbar	nein, nur teilweise lösbar, zum Beispiel: ${4}\cdot{x}={8}$ (ja) ${8}\cdot{x}={4}$ (nein)	ja, zum Beispiel ${8}\cdot{x}={4}$ $x=\frac{4}{8}$

[$\mathbb{Q+}$,*] ist eine Gruppe
[$\mathbb{N}$,*] ist eine Halbgruppe

• 

Division von Brüchen

Anschaulicher Einstieg

Ikonischer Zugang
$\frac{3}{4}:\frac{2}{3}$ --> Wie oft passt $\frac{2}{3}$ in $\frac{3}{4}$?

• 

$\frac{2}{3}$ passt einmal in das $\frac{3}{4}$ Stück. 1 Kästchen bleibt als Rest

--> $\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=$1 Rest 1 Kästchen

--> $\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=\frac{9}{8}$ -->es handelt sich um einen Rest von $\frac{1}{8}$

Enaktiver Zugang
Arbeiten mit Papierstücken

Division als Umkehroperation

$\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=\frac{n}{m}$

12:4=n
gesucht: n mit n+4=12

->Übertrag auf die Bruchrechnung

$\frac{2}{3}*\frac{n}{m}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{18}{24}$ (Erweitern bis es passt)

$\frac{n}{m}=\frac{9}{8}$

Aufstellen einer Permanenzreihe (Ziel=Kehrwert)

$\frac{8}{3}:4=\frac{2}{3}$

$\frac{8}{3}:2=\frac{4}{3}$

$\frac{8}{3}:1=\frac{8}{3}$

$\frac{8}{3}:\frac{1}{2}=\frac{16}{3}$

$\frac{8}{3}:\frac{1}{4}=\frac{32}{3}$->nicht wirklich überzeugend wegen der 1

->Je kleiner der Divisor, desto öfter passt er in den Divident ->das Ergebnis wird größer