Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform

Lernpfad Die Quadratische Funktion der Form f(x)$=$(x - d)2 + e - Die Scheitelpunktsform In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad Der Parameter e stellt sich vor Übungen zum Parameter e Der Parameter d stellt sich vor Übungen zum Parameter d Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform Aufgaben zur Scheitelpunktsform

Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann der Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.

STATION 1: Der Parameter e stellt sich vor

Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:

                                    f(x) = x² + e

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!

Quadratische Funktion f(x)$=$x2+ e

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise: * In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige, quadratische Funktion blau * Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. Aufgabe: Bediene den Schieberegler e. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor e? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Parameter e verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Ist der Parameter e positiv, so wird die Normalparabel um e Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben. Ist der Parameter e hingegen negativ, so wird die Normalparabel um e Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt befindet sich immer auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt . Bei dieser Parabel ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$x² + e gilt: Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um e Einheiten auf der y-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel Für e > 0 gilt: Verschiebung nach oben, um e Einheiten in Richtung der y-Achse Für e < 0 gilt: Verschiebung nach unten, um e Einheiten in Richtung der y-Achse Der Scheitelpunkt liegt bei S $(0\!\,|\!\,e)$ Die y-Achse ist Symmetrieachse

Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.

STATION 2: Übungen zum Parameter e

1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.

y$=$ x2 + 2,5	y$=$ x2 + 1,5	y$=$ x2	y$=$ x2 - 3,5	y$=$ x2 - 0,5

2. Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:

  a) S $(0\!\,|\!\,4,7)$ 

  b) S $(0\!\,|\!\,-23)$ 

  c) S $(0\!\,|\!\,-2,5)$ 

  d) S $(0\!\,|\!\,0)$ 

  e) S $(0\!\,|\!\,13)$ 

Lösung:
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Das war bestimmt kein Problem für dich! Man musste den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt!

  a)	f(x)$=$ x2 + 4,7
 
  b)	f(x)$=$ x2 - 23

  c)	f(x)$=$ x2 - 2,5

  d)	f(x)$=$ x2 

  e)	f(x)$=$ x² + 13   

3. Aufgabe:

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.

  a)	f(x)$=$ x2 + 5,2 
  
  b)	f(x)$=$ x2 - 3
  
  c)	f(x)$=$ x2 
  
  d)	f(x)$=$ 3 + x2 

 

Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen. Aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
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a) S $(0\!\,|\!\,5,2)$

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!

  a)	S $(0\!\,|\!\,5,2)$ 

  b)	S $(0\!\,|\!\,-3)$ 

  c)	S $(0\!\,|\!\,0)$ 

  d)	S $(0\!\,|\!\,3)$ 

4. Aufgabe: Zuordnung

Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x². Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!

A$(?\!\,|\!\,6,5)$	B$(?\!\,|\!\,2,75)$	C$(?\!\,|\!\,11,5)$	D$(1\!\,|\!\,?)$	E$(3\!\,|\!\,?)$	F$(-2\!\,|\!\,?)$
2	0,5	3	3,5	11,5	6,5

Hilfe:
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  Du hast einen x-Wert oder einen y-Wert vorgegeben. 
  Setze einen dieser Werte in die Gleichung ein und errechne dir den zugehörigen x- oder y-Wert!

STATION 3: Der Parameter d stellt sich vor

Nachdem du jetzt den Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen. Er wird wie folgt in die quadratische Funktion integriert:

                                       f(x) = (x - d)2

Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene den Schieberegler d in der Grafik und löse im Anschluss den Lückentext. Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Um deine Ergebnisse zu überprüfen, musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehen, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!

!!!Bewege den Schieberegler d. Was verändert sich an der Lage der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? Der Parameter d der quadratischen Funktion f(x) = (x - d)2 bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebung beim Parameter e, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Mit Hilfe des Schiebereglers d stellt man fest, dass für positive d-Werte eine Verschiebung um d Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von d negativ, so wird der Graph um d Einheiten nach links verschoben. Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive d-Werte lautet die Funktionsgleichung f(x) = (x - d)2. Man macht leicht den Fehler und denkt positiv müsste doch (x + d)2. Da jedoch die Ausgangsfunktionsgleichung f(x) = (x - d)2 lautet, entsteht für positive d-Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative d-Werte, dort lautet die Funktionsgleichung f(x) = (x + d)2. Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten S (d, 0), denn der x-Wert bleibt immer Null. Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.

Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$(x - d)2 gilt: Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine Verschiebung um d Einheiten auf der x-Achse → Der Graph ist kongruent zur Normalparabel Für d > 0 gilt: Verschiebung nach rechts, um d Einheiten in Richtung der x-Achse Für d < 0 gilt: Verschiebung nach links, um d Einheiten in Richtung der x-Achse Der Scheitelpunkt liegt bei S $(d\!\,|\!\,0)$ Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse

Achtung!

• Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)² vor.

Beispiel: f(x) = (x - 5)² → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt

• Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)² vor.

Beispiel: f(x) = (x + 5)² → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)² = (x - (-5))² = (x + 5)²

Ebenso wie beim Parameter e, folgen wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.

STATION 4: Übungen zum Parameter d

1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:

Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
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Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) $=$ (x + 4,5)²

y$=$ [x - 4,5]2	y$=$ [x + 2,5]2	y$=$ [x + 0]2	y$=$ [x - 2]2	y$=$ [x - 5]2

2. Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:

     a)	S $(2,5\!\,|\!\,0)$
     b)	S $(-3\!\,|\!\,0)$
     c)	S $(120\!\,|\!\,0)$
     d)	S $(0\!\,|\!\,0)$ 
     e)	S $(-7\!\,|\!\,0)$

Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
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a) f(x) $=$ (x - 2,5)²

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

     a)	f(x) $=$ (x - 2,5)2  
     b)	f(x) $=$ (x + 3)2  
     c)	f(x) $=$ (x - 1202  
     d)	f(x) $=$ x2  
     e)	f(x) $=$ (x + 7)2   

3. Aufgabe:

Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an.

     a)	f(x) $=$ (x - 6)2   
     b)	f(x) $=$ (x - 2)2  
     c)	f(x) $=$ (x + 3,3)2   
     d)	f(x) $=$ (x + 5)2    

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen!

     a)	S $(6\!\,|\!\,0)$
     b)	S $(2\!\,|\!\,0)$
     c)	S $(-3,3\!\,|\!\,0)$
     d)	S $(-5\!\,|\!\,0)$

Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen

STATION 5: Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform

Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!

	Vorgabe	Passendes Puzzleteil
1.	y$=$ [x - 2]²	S [2, 0]; S [d, 0]
2.	Verschiebung nach unten auf der y-Achse	y$=$ x² - e
3.	y$=$ x² - 4	S [0, -4]; S [0, -e]
4.	Verschiebung nach links auf der x-Achse	y$=$ [x + d]²
5.	y$=$ x² + 2	S [0, 2]; S [0, e]
6.	Verschiebung nach rechts auf der x-Achse	y$=$ [x - d]²
7.	Verschiebung nach oben auf der y-Achse	y$=$ x² + e
8.	y$=$ [x + 4]²	S [-4, 0]; S [-d, 0]

Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.

Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)² + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.

Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.

Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt die quadratische Funktion f(x) = (x - d)² + e deshalb die Scheitelpunktsform.

Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.

Quadratische Funktion f(x)$=$(x - d)2 + e

Hinweise und Quiz:

Hinweise: * In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel * Mit den Schiebereglnern d und e kannst du die Lage der Parabel verändern * Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden. Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(d, e) der Parabel? Scheitelpunktsform Wie nennt man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - d)² + e? Symmetrieachse Wie nennt man die Achse, für die x = d gilt? Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? Unten In welche Richtung auf der x-Achse wird die Parabel f(x) = (x - 3)² - 4 verschoben? x-Achse Auf welcher Achse bewirkt der Parameter d eine Verschiebung? Ebene Die Parameter d und e bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... y-Achse Auf welcher Achse bewirkt der Parameter e eine Verschiebung? Zwei Um wie viel Einheiten wir die Funktion f(x) = (x-5)² + 2 nach oben verschoben?

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$(x - d)2 + e gilt: Die Parameter d und e bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der Ebene → Der Graph von f ist kongruent zur Normalparabel Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um d Einheiten entlang der x-Achse und um e Einheiten entlang der y-Achse Der Scheitelpunkt der Parabel ist S $(d\!\,|\!\,e)$ Die Symmetrieachse hat die Gleichung x $=$ d

STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform

1. Aufgabe: Multiple Choice

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

f(x) $=$ (x - 5)² - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)

f(x) $=$ 5 + (x + 12)² (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)

f(x) $=$ x² + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)

f(x) $=$-5 + (x - 6)² (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)

2. Aufgabe:

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Stelle mit Hilfe des Scheitelpunkts S die Funktionsgleichung auf!

     a)	S (2; -5)
     b)	S (-3; -3)
     c)	S (4; 8)
     d)	S (5; -2) 

Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
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Beispiel: Für den Scheitelpunkt S $(12\!\,|\!\,24)$ lautet die Funktionsvorschrift: f(x) $=$(x - 12)² + 24

Lösung:
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Die Funktionsgleichung wird in allgemeiner Scheitelpunktsform aufgestellt. Die Werte für den Parameter d und e werden direkt an den Koordinaten vom Scheitelpunkt abgelesen.

     a)	f(x) $=$(x - 2)2 - 5 
     b)	f(x) $=$(x + 3)2 - 3
     c)	f(x) $=$(x - 4)2 + 8
     d)	f(x) $=$(x - 5)2 - 2    

3. Aufgabe-Zuordnung:

Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!

y$=$ [x + 3]2 + 4		y$=$ [x - 3]2 + 2		y$=$ [x - 1]2 - 5		y$=$ [x + 5]2 - 1

4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)² + 1,5 und die Punkte W, X , T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen?

     a)	W $(0\!\,|\!\,1)$ 
     b)	X $(0\!\,|\!\,10,5)$ 
     c)	T $(-1\!\,|\!\,2)$ 
     d)	P $(-3\!\,|\!\,1,5)$ 

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Prima!

Damit kennst du nun alle Parameter, welche die quadratische Funktion beeinflussen können.

In der nächsten Lerneinheit führen wir dann die Parameter a, d und e zusammen und lernen die Normalform kennen.